ラジアンも度数も、長さの比率であり、次元がないからだ。どう測っても、すべての角度は単位なしなんだ。ラジアンで見ると最も明らかだけど、度数でも同じことが言える。ラジアンを使えば、角度を再スケールするために変な余分な項を導入することがないから、他の角度のスケールを使うと余分な項を追跡しなきゃいけなくなる。それがやっていることによって役立つかもしれない。自分は度数をよく使うけど、2π/360の項を常に気にしているよ。グレード測定では2π/400の項を、回転数では2π/1の項を追跡しなきゃいけない。それが必要かどうかは、やっていることによるけどね。一般的に、スケーリング項が2π/2πのとき、数学は簡単に解決するから、面倒な1のスケールファクターを気にしなくて済むんだ。

一般的に、次元の単位に関数を適用することはできないんだ。単位ができることは、掛け算か割り算だけ。だから、質量を距離で掛けたり、距離を速度で割ったりはできるけど、距離のサインを取ったり、時間の対数を取ったり、質量を指数化することはできない。そういうのはスカラーに対してだけできるんだ。「でも待って！」って言うかもしれないけど、「横波の公式は距離のサインで変わる！」って言うかもしれないね。だけど、そうじゃなくて、距離（横の変位）のサインを別の距離（波長）で割って、さらに2πで割るんだ。距離がキャンセルされてスカラーだけが残る。サインはその純粋なスカラーに対して取られるから、結果は純粋なスカラーになる。そして、それを別の距離（振幅）で掛けて、縦の変位を得るんだ。サインは純粋な関数なんだよ。もう一つ考慮すべきことは、単位とスカラーを掛け合わせて次元量を作る方法が掛け算であること。サインの積の簡単な公式なんてないから、sin(ab)をaとbのサインや他の関数で表すことはできない。だから、例えば「度」が何らかの次元単位だったら、sin(90°)は計算できないんだ。sin(90)は知ってるけど、sin(°)はわからないからね。たとえそれを知っても、sin(90°)を求めることには近づかない。°が単にπ/180に等しい数学的定数だと気づくことで、かなり解決するんだ。

どこかで2πの因子を持ち込まなきゃいけない。逃げられないよ。sintが角度を回転数で与えたsin関数なら、d/dx sint(x) = 2π cost(x)になる。sin(x)は小さいxに対してはxに近いけど、sint(x)は小さいxに対しては2πxに近い。

波を扱うときは、しばしばターン、つまりその世界ではサイクルを扱ってることが多い。サイクルはターンで、τは2πだよ。結局、周波数のSI単位はヘルツ、つまりサイクル毎秒なんだけど、実際には2π s^-1と考えるべきなんだ。でも、複雑な理由でそうなってないことが多いし、周波数を含むほとんどの公式は「サイクル」を無視してるか、波長やプランク定数の定義の中に隠れていてキャンセルされちゃう。ちなみに、角速度のSI単位はラジアン毎秒で、これは次元的にはs^-1と等しいんだ。とはいえ、離散イベントの発生率を測るベクレルも次元的にはs^-1なんだよ。（次回、ウェブサイトのトラフィックを測るときは、リクエスト毎秒を測るための適切なSI単位、つまりベクレルを使ってみてね。）だから、次元的な等価性は単なる等価性とは違うんだ。周波数にレートを足すことはないし、エネルギーの量にトルクを足すべきじゃないのと同じだね。

なんか、自分が数学を学んだ感じに近い気がする。幾何学や三角法では度数や回転数、他の単位を使えるけど、ラジアンは書くのが難しいからほとんど使わない。微積分を学ぶとすぐにラジアンに切り替えて、もう戻らないんだよね。

ここでの経験はそんなに広くないし、数値解析は専門じゃないけど、見てきたほとんどの三角関数の実装（ソフトウェアとハードウェア両方）では、ルックアップテーブルや他のショートカットを多用しているよ。一般的な実装でテイラー級数が使われているのは見たことがない。どこかには存在するかもしれないけど、自分が知っているほとんどのケースでは、異なるルックアップテーブルで回転数をサポートするのが簡単だと思う。

「ターン」が本当に素晴らしいのは、やってることの大半がフェーズアキュムレーターのときだよね。