へへ、面白い実験だね。

いい小話だね！青い車のことを話してる時に「car」を2回も間違えてるのに気づいちゃったよ。

青い車は、½mv²を使って、約（70²=）4900のエネルギーを失った（定数は無視するよ）。だから赤い車は、（100²=）10000の運動エネルギーを持ってたけど、4900を失ったから、衝突時には5100のエネルギーを持ってて、速度は（√5100~）71くらいだった。でも、もし車がダウンフォースを生み出すなら、これはもう成り立たないよ。なぜなら、高速で走ってる時はブレーキが強くかかるから（摩擦が増える）。これがF1カーがブレーキ時に4Gを引き出す理由だよ。一部のカスタムカー（ケン・ブロックの最後のモンスターやヴァルキリーみたいなやつ）は、アクティブエアロブレーキングを使ってさらに効果を上げてる。

同じ強さと減速。両方は成り立たないよ。数学的に両方は無理。彼らは同じレート（加速度）でブレーキをかけることはできるけど、異なるスピードで走ってるから、その2つの値は同じにはならない。君がやった計算は強さについてのもので、力/加速度ではないから、KEの式の^2のせいで差が誇張されてる。もし力に基づいて計算したら、もっと穏やかで線形な差が出るよ。> 同じレートでブレーキをかけたって、言葉の選び方がちょっとずるいね。君は運動エネルギーを熱に変換するための計算をしてるけど、一般的には「レート」は力/加速度を意味する。エネルギー変換の「同じレート」でブレーキをかけるのは、速い車にとっては実際のブレーキ力がずっと少なくなる。これは、低速で勾配を下る時に力をかけて問題ないのと同じで、高速で同じ勾配を下る時に同じ力をかけるとブレーキが焼きつくことになる。もしくは、力を少なくしても、同じ量のエネルギーを熱に変換できる（つまり、君が提案したシナリオの言葉のトリック）。君はトラックが勾配を下る時の計算を持ち出して（エネルギー変換のレートは実際にはブレーキが熱を失う能力によって制限されてる）、それを車が止まるためのトリック問題に再構成したんだね。

これと同じポイントを伝える素晴らしいオーストラリアの交通安全広告があるよ: https://www.youtube.com/watch?v=7x7c0qNGbv0

IIHSの動画は、運動エネルギーと速度の関係をすごくわかりやすく示してるよね。BeamNG.driveは、こういう基本的なバーチャルカー実験には結構いい物理シミュレーターだよ。内蔵ツールを使って、ブレーキテストも直接できるし。

なんで他の偶数乗にしないの？

それじゃあ、なぜ速度に関して二次関数なのかっていうタイトルの質問には答えてないよね。

ドット積は大きさのメトリックを比較するための「自然な」空間だと思ってる。一方、絶対値は人間が便利さのために考えたもの。滑らかな放物線のボウルと、不自然な鋭い円錐の先端みたいな感じ。標準偏差とかにも出てくるよね。余談だけど、複素数のニューラルネットワークで、活性化関数が単にsum(inputs)*conj(sum(inputs))で、しきい値がsqrt(num_inputs)で正規化されてたら、最も普遍的かもしれないな。非コヒーレントな入力は絶対値の平均がsqrt(N)になって、コヒーレントな入力はN、まるでレーザーみたいに？（未補正と相関のある集団の間で、振幅の二乗はN対N^2になる）