明らかだね。

エンジニアとしての訓練を受けてきたから、授業であまり代数に触れることはなかったんだ（高校の普通の内容を超えては）。実際、あまり気にしてなかったしね。その後、代数幾何を学ぼうとしたけど…ああ、恐ろしい。何でかわからないけど、俺の直感はすごく幾何学的で解析的なんだ（微積分の意味で）。数えたり組み合わせを考えたりするのも、なんか変な感じがする。まるで乾燥した殻でできた味のないプレッツェルみたい。組み合わせ論は、微積分を使えるときだけいいんだ。微積分は、あれは別物で、豊かで旨味のあるバター風味のブリスケットみたい。おいしいよ。それが面白い部分じゃないんだ。面白いのは、みんなが俺と同じだと思ってたこと。人々が数えたり代数を愛しているのは、俺が幾何学（有限じゃないやつ）に感じるのと同じように感じているっていうのは、大きな驚きだった。俺が好きな数学に対してみんなが違和感を持っているのが理解できない理由の一つでもある。学校の微積分に対する嫌悪感が全然理解できないんだ。あれは直感的で美しく幾何学的なのに、何が嫌なんだろう…それが俺の最初の反応だね。だいたい失望と悲しみに続くけど、ああ、こんな美しい部分を捨てようとしてるなんて。

「選択公理は明らかに真で、整列定理は明らかに偽、ゾルンの補題については誰がわかるだろう？」（ジェリー・ボナに帰属）

ハハ。この視点が、Falseが1でTrueが-1になるようにブール値を実数に埋め込む方法なんだよね :-) （そう、数学者たちは本当にこれを使ってる。これでパリティが通常の割り当てよりも簡単な多項式になるんだ）。

複素数はR[i]/(i^2+1)の要素に過ぎないよ。どうして人々がこれを間違えるのか、私には理解できない。

複素数の大きさや距離、角度を気にしなければ、うまくいくよ。そういう性質は代数的じゃないからね。

彼はStack Exchangeでもすごく活躍してるよ。 – https://stackexchange.com/users/510234/joel-david-hamkins – https://mathoverflow.net/users/1946/joel-david-hamkins

同意する。俺にはこの議論全体がただのバイクシェディングに見えるよ。

名前や言語、概念は、私たちが何かを理解する上で欠かせないもので、強い影響を与えるよね。数学の知識は、結果だけじゃなくて、その背後にある理解がもっと大事なんだと思う。

プロじゃないけど、私にとっては、iと-iが「同じ」か「違う」かっていうのはかなり重要だって明らかだよ。

記事の中で、複素数が区別できない-1の平方根を持つZFCのモデルがあるって言ってる。だから、そのモデルでは複素数の厳密な座標的な見方はできないんだろうね。

著者は、単なる命名の慣習についてではないと明言している。「これらの異なる視点は、最終的には複素数の数学的に非同値な構造的概念に帰着すると私は主張する。」だから、単なる命名の慣習についてだと主張するためには、記事の内容に対して反論する必要がある。

いや、全体のポイントは結果に違いが出るということだ。彼は、AI（そして私の意見ではほとんどの人間）が複素数の異なる解釈を選び、異なる結果を出す例を挙げた。

特に、核心的な意見の相違は、Cの自己同型がR（部分集合として）を固定すべきかどうかにあるようだ。ここでの簡単な解決策は、異なる名前を持つことだと思う：（一般的な）自己同型（たくさんあるかもしれない）とRを固定する自己同型（先に挙げた2つだけ）。この区別をすれば、Cの構築方法は関係ないはずだ。すべて同じだからね。

これは厳密な解釈になるね。だってiと-iは、ImとReが定義された具体的な区別可能な要素だから。

もし行列がもっと早く発明されていたらなぁ…

質問を鋭くする一つの方法は、Cが「基本的」かどうかを問うのをやめて、むしろ穏やかな構造的制約によって強制されているかどうかを尋ねることだ。その視点から見ると、Cの地位は便利さよりも必然性に近いように見える。通常の位相を持つ順序体Rを考えて、代数的に閉じていて、合理的なスペクトル挙動を持つ微分の概念を許容する有限次元の可換単位R代数を求めると、基本的には同型までCにたどり着く。これは偶然ではなく、代数的閉包、局所解析性、線形化がどのように相互作用するかの結果だ。Rの上に留まろうとする試みは、複雑さを排除するのではなく、外在化する傾向がある。たとえば、実Jordan形式に移行したり、次元を倍にしたり、回転を特別なケースとしてエンコードしたりすることだ。もっと重要なのは、ホロモルフィック性の硬直性だ。コーシー・リーマン方程式は装飾的な制約ではなく、代数構造と基礎となる実幾何学との互換性をエンコードしている。その結果、解析性は局所的な条件ではなく、グローバルな条件となり、Rの上には誠実な類似物が存在しない同一性定理や強い最大原理のような結果をもたらす。実数をカテゴリー的にもっと自然だと扱うことには懐疑的だ。Rはすでに完備されていて、すでに非代数的で、すでに無限小を排除することで定義されている。実際、Rの上で原始的だと考えられている多くの構成は、Cへの基底変換後に初めて関手的または標準的になることが多い。だから、Cを技術的な装置と見なすことはできるが、固定点のように振る舞う。十分な正則性、閉包、安定性の要件を課すと、意図せずとも理論がそれを再構築する。これは形而上学的に基本的だとは言わないが、実際には構造的コストを払わずに避けるのは難しい。

私の考えでは、非負の実数は良い物理的表現を持っている。量、サイズ、距離、位置などだ。負の整数にはこういったモデルはない。負の数は主に会計の道具や、向きのある軸上の位置、互いに打ち消し合うもの（電荷）として現れる。でも、どの場合も、構造が重要で、正と負の値は単なる慣習に過ぎない。お金が負になっても、借金が正になっても、すべて同じことだ。電子と陽子も同じ。だから、私たちの日常の現実では、-1とiは同じように存在していると思う。さらに、複素数は数学において基本的で中心的な存在だとも思う。彼らは本当に多くの性質や他のものとのつながりを持っている。

このことについて考えるときに自分に楽しんで聞く質問は、「遠い銀河にエイリアンの数学者がいるとしたら、彼らはこれを知っているのか？」ということだ。複素数については、直感的に言うと、彼らは知っていると思う。

私は数学の修士号を持っていて、CはRよりも「虚数」ではないという結論に達した。どちらも便利な抽象であり、特に「自然」ではない。

俺にとって、複素数は2次元ベクトルの商として現れるんだ（これは2次元アフィン空間の平行移動から生じる）。つまり、複素数は2次元ベクトル空間のベクトルのペアの同値類で、2次元ベクトルは2次元アフィン空間の点のペアの同値類、また有理数は整数のペアの同値類、整数は自然数のペアの同値類で、これは同等な集合の同値類なんだ。2つの共線の2次元ベクトルを割ると、その商は実数、つまりスカラーになる。ベクトルが共線でない場合、その商は複素数になる。2次元ベクトルに複素数を掛けると、その大きさと方向が変わる。+iを掛けるとベクトルが直角に回転するし、-iを掛けると逆方向に回転するから、これが彼らの違い、つまり時計回りと反時計回りの違いなんだ。直角に2回回転すると、回転の向きに関係なく反対の方向に行くから、だからii = (-i)(-i) = -1なんだ。2次元ベクトルと複素数は2次元幾何代数に含まれていて、そのメンバーは2^2 = 4成分を持つ。これは2次元ベクトルの2成分と複素数の2成分を合わせたものだ。複素数とは違って、2次元ベクトルは体ではない。なぜなら、2つのベクトルを掛けると結果はベクトルにならないから。複素数のすべての性質は、2次元ベクトルの性質から導き出せる。複素数が商として定義されるとき、これは有理数の性質が整数の性質から導かれるのと同じだ。2次元ベクトルと複素数の間には、3次元ベクトルとクォータニオンの間にも同様の関係がある。残念ながら、クォータニオンの発見者であるハミルトンは、ベクトルとクォータニオンの両方が複数の成分を持つことに混乱し、ベクトルとクォータニオンが同じものであると信じていた。実際には、ベクトルとクォータニオンは異なるもので、彼らでできる操作も非常に異なる。こうした混乱が19世紀の長い間、物理学におけるクォータニオンとベクトルの正しい使用を妨げていたんだ（「極」ベクトルと「軸」ベクトル、つまり擬似ベクトルの混乱も同様に）。

俺も昔は同じように感じてた。今では複素数を他のどんな数と同じくらいリアルだと思っている。光を見つける鍵は、複素数が「リアル」だと自分に納得させようとすることじゃなくて、すべての数が抽象であることを本当に理解することなんだ。これは確かに、数学全体の理解を広げる視点になった。負の数や分数、さらにはゼロがかつては物議を醸し、直感に反するものであったことを考えてみてほしい。今の複素数と同じようにね。「自然」数ですら、ただの抽象に過ぎない。数量で分類することを可能にするだけなんだ。例えば「2」を見た人はいない。数学的存在の本質について考えるべき別のことは、ある視点では、数学において物体は存在しないということだ。特定のルールに制約された物体を思いつければ、ほら、それは存在する。特定のルールシステムがそれを禁止しているかどうかは関係ない。重要なのは、我々が想像したルールシステムに従うことなんだ。それが特定の数学的公理系に存在しないとしても、結局公理はその性質上、選ばれたものだから。さて、その流れで深い考えを一つ：自由意志は存在すると思う。なぜなら、我々が原因もなくランダムでもない数学的対象を想像できるからだ。それがどう存在するかを知る必要はない。重要なのは、それが存在すると仮定した場合、その性質は何かということだ。

「実数は完全に自然だと思う」 中学生に実数を出発点にして複素数の定義を教えることはできるけど、有理数を出発点にして実数の定義を教えるのは難しいかもしれないね。

「このコメントに対して、誰かが私を少しでも気分良くさせるような返事をするとは思えない」 私も複素数には懐疑的なんだ。私がたどり着いた立場はこうだ。1) 複素数は数学の中で「使われるべき」以上に多く使われていると思う。人々はR^2の幾何学について話すためのツールがないから、Cを使うんだ。特に、複素解析の面白いことの多くは、Rをより高次元の代数の中に位置づけることでできる一般的な構造のn=2の場合に過ぎないと思う。2) 量子力学に現れるCはその一例だと思う。物理学には円対称性が埋め込まれていて（波動関数の位相）、みんな自分のお気に入りの書き方にこだわるんだ。波動関数が重ね合わせで加算されることを考えると、どうなるかはわからないけど、物理学は「Cが必要」ってわけじゃなくて、Cが物理学が説明しているものの代数をモデル化しているから使われているんだ。3) Cはある意味で本質的だと思う。Rの多項式があれば、自然にsqrt(-1)を加えることになる。これはsqrt(2)を加えるのと概念的にはあまり変わらないし、私たちが出会うかもしれないエイリアンも同じことをするだろうと思う。

「複素数には本当に哲学的な問題がある」 > 「実数は完全に自然だと思う」 この視点は面白いけど、全く異質だと思う。x^2-2=0となるxを見つける方法が必要で、有理数では足りないからRが必要なんだ。（あるいは、完全順序体が必要だからRがある）x^2+2=0となるxを見つける方法が必要で、Rでは足りないからCが必要なんだ。（あるいは、代数の基本定理によってRの代数的閉包が必要だからCが必要）どんな数も（「自然」な数でさえ）他の数よりも自然だとは思わない。区別を始めたら、どこで止まるの？負の数はいいの？ゼロはどう？それは「自然」なの？少なくとも数学者たちは0がNに含まれるかどうかで意見が分かれている。ガウスの有名な言葉を思い出すよ。「この主題（虚数）はこれまで神秘的な不明瞭さに包まれていたが、それは大部分が不適切な表記に起因している。例えば、+1、-1、sqrt(-1)が正の単位、負の単位、横の単位と呼ばれていたら、正の、負の、虚の（あるいは不可能な）と呼ばれていたら、そんな不明瞭さはあり得なかっただろう。」

実数には非常に非現実的な性質がある。特に、その非可算無限の基数は驚異的だ。人は生涯に有限の数の思考しか持てない。生きたことのある人の数は数えられる無限で、家系図（グラフ）に整理できる。このことから、人類が持ったことのある思考の総数は数えられる無限になる。ほとんどすべての実数について、人類はそれを考えたことがない。どんな方法でも説明できる実数の部分集合についても同じような議論ができる。説明というのは、単に数字を書くことだけを意味しているわけじゃない。「列Xの極限」、「方程式Yを満たす数」などの形の文も説明だ。説明は可算無限だけど、実数は非可算無限だから、ほとんどの実数は説明できない。ほとんど説明できないものを「現実」と考えるのは難しい。ほとんどの実数が人類に使われたことがないのも同じくらい難しい。一方で、有理数の複素拡張は、平面のベクトルとして見ると非常に自然に感じる。人々が複素数を理解する際につまずく主な点は「数」という言葉だと思う。一般的に、数は物を順序付けるために使われる。自然数の主な機能は結局、数えることだから。数を進んだ数え方、つまり順序付けと考える。だけど、複素「数」は順序付けられていない（順序体の意味で）。だから、彼らを「数」と呼ぶのは誤解だと思う。数は数えるためのもの。複素「数」は数えられないから、数ではない。でも、彼らは素晴らしいベクトルだよ。

自分がその言語をほとんど話せない投稿で（工学の修士号があるのに）HNがまだ投稿の最初の段落について話しているのを知ると、とても安心するね。

あなたの表現を共有してくれませんか？ :-)

πを見つけられないことについて、少しずつ理解してきたことがある。フィールド構造だけでは、πを特定する方程式を構築したり、絞り込んだりすることはできない。なぜなら、もしπが唯一の自由変数なら、それは多項式の根を見つけることになるから（フィールドの演算しかないから！）そしてπは超越数だから、その多項式は0にしかならない（もちろん、等しくないを使うことが許されれば、πがさまざまな代数数の集合に含まれないことを指定することはできる）。他の自由変数がある場合、フィールドが代数的に閉じているから、好きな超越数にπを固定しても、残りの変数を解くことができる。だから、これは有理数に連続体の任意のフィールド拡張を加えたもののような感じだね。すべての事例がフィールドとして同型であるのは驚くべきことではないけど、実数が「集合同型に関して、自然数の冪集合の基数と一致する唯一の集合」と主張するのと同じくらい役に立たない気がしてきた。もちろん、自動同型があるのはわかっているけど、定義を終えていないんだ。

数学には関連する考え方があって、実数が有理数の上のベクトル空間であることの証明があるんだ。基底ベクトルを入れ替えると、同型のベクトル空間が得られるけど、実際には|Rの「置換」に過ぎない。もちろん、ベクトル空間には掛け算すらないけど、面白いのは、その証明には選択公理が必要だってこと。Cの「非自明な」モデルをフィールドの概念を使って構築するには、無限の集合族からそれぞれメンバーを選ぶ必要があるかもしれない。つまり、選択公理を使う必要があるんだ。Rをベクトル空間として構築するのと似たような感じだね。