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皆さん、私たちは最高のπを持っています

252日前原文(lcamtuf.substack.com)

概要

  • 本記事は、異なる距離概念（メトリック）で描かれる「円」と円周率πの変化について解説
  • Euclid幾何学からTaxicab（マンハッタン）距離、Chebyshev距離までの一般化を紹介
  • n乗根型メトリックによる「n-円」とその円周率πnの算出方法を説明
  • πはEuclid空間で最小となり、他の空間ではより大きくなる傾向を示す
  • AdlerとTantonの論文を基にした、直感に反する数学的事実の紹介

異なる距離概念と「円」の定義

  • トポロジスト は、図形の外見や距離にこだわらず、連続性のみを重視する分野
  • ユークリッド距離 は、2点間の直線距離で、( d = \sqrt{x^2 + y^2} )で計算
  • Taxicab距離（マンハッタン距離） は、直交グリッド上での移動距離、( d_{\text{taxicab}} = |x| + |y| )
  • Chebyshev距離 は、2点間の最大軸差分、( d_\infty = \max(|x|, |y|) )
  • 一般化した n乗根型メトリック は、( d_n = \sqrt[n]{|x|^n + |y|^n} )で表現

n-円とその形状

  • どの空間でも、 (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) は常に半径1の円上の点
  • Taxicab距離では、 円は正方形を45度回転させた形 （各辺が±45°の直線）
  • nが大きくなると、 円はChebyshev距離の正方形型 に近づく
  • nが小さくなると、 円は内側に凹んだ形状 （コンケーブ）に変化

円周率πの変化

  • Taxicab距離の「円」では、 π1 = 4 （ユークリッド空間のπより大きい）

  • Chebyshev距離でも π∞ = 4

  • n = 2（ユークリッド空間）では、 π2 ≈ 3.14159 （最小値）

  • 他のnでは、 πnは3.14より大きくなり、nが1や∞で4に近づく

  • n < 1では、 「円」はさらに広がり、πnも大きくなる傾向

    • 例：π0.8 ≈ 4.7, π0.5 ≈ 7.2, π0.3 ≈ 11.9

πの最小値を与える空間

  • 一連のメトリック空間の中で、 ユークリッド空間のπが最小値
  • 他の空間では、 円周率は常に大きくなるか等しい
  • AdlerとTantonによる 2000年の論文 で、この性質が正式に証明

n < 1の場合の注意点

  • n < 1では、 距離の意味が直感的でなくなる （最短経路がメトリックで示されない場合あり）
  • それでも、 n乗根型メトリックで「円」を描くことは可能
  • 形状は 凹型の多角形 となり、πnは急激に増加

まとめ

  • 円周率πは、距離の定義次第で変化
  • ユークリッド空間がπの“谷” であり、他の空間ではより大きな値となる
  • メトリックの違いが、図形や数学的性質に及ぼす影響 の面白さを実感

参考

  • Charles Adler と James Tanton による2000年の論文が本記事の着想源
  • 数学的直感を揺さぶる、 異なる“円”と“円周率”の世界

Hackerたちの意見

こういうちょっとした数学の話、めっちゃ好きなんだよね。数学初心者の私には、結果が当たり前なのか深いのか全然わからないけど、少なくとも刺激的だよ。

└

物理を勉強してた時に同じことを考えた（博士号持ってるよ）。数学は私の問題を解くためのツールボックスみたいなもので、あまり深く考えずに使ってた。一部の「道具」は素晴らしくて、うまくいくことに驚いたし、いくつかは呪術的だった（無限大が出てきた時に「デウス・エクス・マキナ」として使われた再正規化の一般的なアイデアみたいに）。数学はすごくクールだけど、特別な（天才的な）頭が必要だと思うし、最初は忍耐が必要だよね。物事が氷河のように進む感じで、明確な目標もないから。

すごく興味深いけど、3つ質問があるんだ。1. なぜ n = 2 が π を最小化するのか。記事ではグラフィカルに示されてるけど、正式な証明がないんだよね（Adler & Tanton の論文が言及されてるけど）。数学的にどうしてそうなるのか知りたいな。2. nメトリックでの π の数値計算方法。一般的なアイデアとして「円をセグメントに分けて、メトリックで長さを計算する」って説明されてるけど、具体的なアルゴリズムや公式は示されてない。3. n → 0 のときはどうなるのか。「距離の概念が崩れる」とは書いてあるけど、具体的にどうしてそうなるのか説明がないんだよね。

└

nメトリックでの π の数値計算方法。一般的なアイデアとして「円をセグメントに分けて、メトリックで長さを計算する」って説明されてるけど、具体的なアルゴリズムや公式は示されてない。一般的な流れにはちょっと合わないかもしれないけど、各角度を傾きに変換して、y/x = その傾きを解けばいいんだよね。そして、(0,0) から (x,y) までのメトリックが1になるようにすれば。そうすれば、たくさんの点ができて、距離を足し合わせるだけだよ。

└

記事ではグラフィカルに示されてるけど、正式な証明がないんだよね（Adler & Tanton の論文が言及されてるけど）。もしそれが気になったなら、論文をダウンロードして読めばよかったのに。あなたのコメントは、ブログの著者がすべての作業をしなきゃいけないみたいに聞こえるよ。時には自分でやらなきゃいけないこともあるからね。

└

lcantufは最初の2つを見て、答えがこの投稿には複雑すぎると判断したんじゃないかな。彼は記事へのリンクを貼ったし。3つ目は推論できるよ：x と y が0でない全てのケースでは、|x|^n は n が0に近づくと1に近づくから、(|x|^n + |y|^n) は2に近づくし、1/n は無限大に近づく。だから、lim n→0 (|x|^n + |y|^n)^(1/n) は無限大に近づく。もし x と y が0なら0だし、x xor y が0なら1になる。数学的に曖昧に言うと、全ての距離が0、1、または無限大の場合、距離の概念は物事の近さを表さなくなるんだ。

└

最初の2つの質問に触れてるスタックエクスチェンジのスレッドがあるよ。円周の計算の積分形式が載ってるけど、一般的には閉じた形の解はないと思うな: https://math.stackexchange.com/questions/2044223/measuring-p...

└

ポイント1の理由はもちろん、π(p)が2で[グローバル]ミニマムを持つからだよ。実際にそれを示すのは簡単じゃないけど、関わる積分には閉じた形の解がないからね。でも原理的にはそんなに難しくないよ。円の円周は2 π(p)で、第一象限の四分円の長さの4倍に等しいんだ。第一象限ではxもyも正だから絶対値を無視できるしね。四分円はy(x) = (1 - x^p)^(1/p)で、xは[0, 1]の範囲。長さは0から1までのdxに対するdsの積分で、dsはLpノルムにおける弧の長さで、ds = (dx^p + dy^p)^(1/p)になる。これでds = (1 + (dy/dx)^p)^(1/p) dxが得られる。dy/dxには四分円の導関数dy/dx = -x^(p - 1)(1 - x^p)^(1/p - 1)を代入して、最後にpに関する積分の導関数を計算して、極値がどこにあるかを見つける必要があるよ。まあ、技術的にはそれがミニマムであることを確認するために2次と3次の導関数も見なきゃいけないし、極限の挙動もチェックしないとね。参照された論文は、元の関数といくつかの関連点で一致するように関数を修正することで積分を扱っていて、解ける積分を得ることができることを示してる。修正した関数を使っても結果は変わらないんだ。

私、数学が本当に苦手で、特に連続関数が絡むとダメなんだ（CSっぽくない数学ね）。HNに数学的な記事が投稿されると、すぐに諦めちゃうけど、この記事はすごく面白かった！説明がめっちゃわかりやすくて、感動したよ！書いてくれてありがとう！

数学では、平方ユークリッドが特別だという印象を与える結果がたくさんあるよね。例えば、特異値分解やエッカート・ヤングの定理がそうだね。算術平均も、点の集合から平方ユークリッドの和を最小化するんだ。平方ユークリッドの特性が、K-meansアルゴリズム（ロイドのアルゴリズム）がシンプルな理由でもあるんだよ。平方部分はその結果において重要だけど、平方を取ることでメトリックの特性が壊れちゃう。ユークリッドメトリックの美しさの一部は、対称性の特性にあるんだ。レベルセット、つまり円（球）は最も対称的なオブジェクトだよ。この対称性が、座標を傾けても円が変わらない理由でもある。投稿で考慮されている他のメトリックのレベルセットは、座標軸に依存していて、座標不変ではない。ユークリッドメトリックは、平行移動、回転、反射に対しても不変なんだ。内積や直交性の概念とも特別な関係があって、コーシー・シュワルツの不等式がある。それを一般化したのがホルダーの不等式で、これらのLpベースのメトリックを超えて、原点[0]周りに何らかの対称性を持つ均質な線形以下の「距離」やレベルセットに一般化できるんだ。デカルト座標系は、ある意味でユークリッドメトリックとマッチしてる。その他のメトリックやレベルセットに適した座標を探るのは面白そうだけど、具体的に何を意味するのかはよくわからないな。[0] 残念ながら、便利なURLは見つからなかった。ウィキペディアにこの結果の証明があったと思ったけど、見つからないな。

└

コメントを編集できなくなったから、ここでちょっと詳しく説明するね。僕が言った平方ユークリッド座標とデカルト座標の間のこの微妙な関係って何なの？なんでそんなに相性がいいの？答えはピタゴラスの定理だよ。平方ユークリッド距離は直交（垂直）方向にきれいに分解できるんだ。d^2 = x^2 + y^2。デカルト座標も直交（垂直）軸に沿って点を分解するけど、これは平方ユークリッド距離に特有のものだよ。ブログで考慮されている他のメトリックは、より良い名前がないけど、フェルマーの最終定理の分解として分解される。d^n = x^n + y^n。もしそんな風に点を分解する座標系を使ったら、面白いことになるだろうね。そういう座標系については知らないけど。これだけは言える、n > 2の整数三重（格子点）については忘れた方がいいよ。

└

これらの方法の一つ（コーシー・シュワルツや他のヒルベルト空間の結果が続くもの）は、d_2が平行四辺形の法則を満たす唯一のメトリックであることだよ。[1]: 2 d_2(x) + 2 d_2(y) = 2 d_2(x + y) + 2 d_2(x - y) [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelogram_law

└

特殊な性質のほとんどは、内積との特別な関係に起因しているんだ。そして内積にはもう少し基本的な性質があるから、その意味でユークリッドノルムの特別な位置を説明している。ちなみに、これは座標とは関係ないよ。もし別のノルムが欲しいなら、まず内積に特有の性質を与える二重線形性の代替を考えなきゃいけない。二重線形性自体もかなり特別だけどね、テンソル空間とカリー化の線形代数の等価性の間のリンクを考えると。

└

特別な性質は統計学にも広がっていて、ガウス分布は魔法のようであり、普遍的な感じがするよね。これは、（二乗された）ユークリッド距離の指数関数、つまり exp(-(x - x0)²) なんだ。俺も同じ気持ちで、デカルト座標とユークリッド距離は、我々が住んでいる現実を作り出すのに特別に適した自然なペアリングとして本質的に繋がっていると思う。数学における水の位置と同じようなものだと思う。

似たような記事がHacker Newsからリンクされてたかもね: https://azeemba.com/posts/pi-in-other-universes.html

└

いいね！ありがとう。

[編集済み] 誰かd(3)=(|x|^3+|y|^3)^(1/3)が実際に何を意味するのか説明してくれない？ブログではもっと深いことを示唆してるみたいなんだけど。もしd=|x|+|y|が2次元で1次元ずつ動いてて、d(2)=(x^2+y^2)^(1/2)が2次元で同時に動いてるとしたら、d(3)=(|x|^3+|y|^3)^(1/3)は2次元空間で3次元を同時に動かすことを意味するはず（3次元目のzが欠けてるからね）。そして全てのnについて、2次元空間でn次元を同時に動かすことになる。今、πは円周を計算する定数に帰着する。ブログでは、他の次元を無視してこの2次元空間だけを考えることで、最も良い近似ができることを示してる。明らかに見えるけど、それはπの性質に関係してるのであって、数学とは関係ない。d=(|x|^3+|y|^3+|z|^3)^(1/3)は3次元空間でπをより良く近似するだろうね。

└

これらのメトリックはすべてベクトルの関数なんだ。(x, y)のペアを入れると、数字が出てくる。d₁、通常はℓ¹と呼ばれるもので、|x| + |y|、(3, 4)を入れると7になる。ℓ² = √[|x|² + |y|²]は√[3² + 4²] = 5になる。ℓ³は∛[|3|³ + |4|³] ≈ 4.498になる。どれも動いているわけじゃなく、時間とともに変わることもない。次元の数に関係なく、すべてが（この投稿では）二次元の関数として定義されているんだ。ただ、二次元平面の各点に距離メトリックを割り当てているだけ。君が言ってるのは、ℓ¹メトリックはタクシーが一度に一つの次元で移動するために必要な距離を教えてくれるけど、ℓ²メトリックは直線で行くために必要な距離を教えてくれるってことだと思う。でも、ℓ³メトリックは似たようなものには対応してなくて、三次元や四次元、五次元でもそうだし、例えばℓ¹·⁵も同様だ。これらに到達するには、上の式を通過しなきゃならない。描かれた曲線は「レベルセット」で、同じ距離メトリックを持つ点を結んでいる。この投稿のポイントは、「特定の距離メトリックで[π]を最も近似できる」ということじゃなくて、このメトリックのファミリーのすべてのメトリックには、それぞれボールの周囲と直径の比率があって、それを冗談で「π」と呼ぶことができて、その比率はℓ²で最も低いということなんだ。比率自体は二次元でしか意味がない概念で、三次元ではボールは周囲ではなく表面を持つから、表面を直径で割ると長さになって、数字にはならない。君が「何かが『πの本質に関係している』と言ったのは全く理解できない。数学以外の何がπの本質なの？」って言ったのが全然わからないよ。

球の表面上の距離のメトリックってあるの？ 記事にあるメトリックのファミリーには含まれないと思うけど、そんなメトリックだとπは3.14未満になるんじゃないかな？ [大学で物理学を専攻してたけど、数学が苦手でコンピュータサイエンスに転向したから、これはバカな質問かもしれないって自覚してる。]

└

うん。球の中心で二点が作る角度だよ。それは、表面上の二点を結ぶ大円に沿って一方の点からもう一方の点に行くために必要な角度の変位なんだ。大円は、その二点を通り、球の中心が中心になる円のことだよ。

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地元にはローカルメトリックがあるよ。長さ/2/rの値は円の大きさによって変わるんだ。地球が球体だと想像してみて。北極を中心に円を描くと、 * 円が小さいと、地球はほぼ平面になってπに近くなる。 * 円が赤道の場合、北極から赤道まで円の長さの1/4を歩くことになるから、結果は4/2=2になる。 * 円が大きすぎて南極に近づくと、結果はほぼ0になる。

多くのソフトウェアエンジニアにとって馴染みのある例は、タクシーキャブメトリック、つまりマンハッタン距離だよ。... その間には名前のない幾何学がいくつかあるけど、nが無限大に近づくと、チェビシェフ距離になるんだ。俺はこの二つのメトリックを「ルーク」と「クイーン」の距離だと思ってる。マンハッタン距離は、チェスのルークのように横と縦しか動けない場合の二点の距離だよ。チェビシェフ距離は、斜めにも動ける場合の距離だね。

笑った。最小値についての部分を読んでるときに（証明にリンクする部分に行く前に）、俺の頭が「うん、でも…他にもう一つのディップがあるかもしれない、ディップのパターンが…」って言ってる。リンクはクリックしてないけど、これはよく書かれたブログ記事なんだろうな。質問した場所がまさに論文にリンクしてるところだから。いいね。

これは大きな話題から外れるけど、近くの50年代テーマのダイナーでコーヒーとデビッド・リンチ風のアップルパイを頼んだんだ。そしたら、あのクソ野郎たちが持ってきたのは、パッケージされたミニパイで、自分でコーヒーを注ぎにカウンターに行けって言われた。要するに、πに関しては、昔ほど人々が気にしなくなったってことだよ。これを批判として受け取らないでほしいな。