概要

線形代数 の基礎概念を、初心者向けに簡潔に解説。 スカラー と ベクトル の違いを明確化。 ベクトルの演算 （加算・スカラー倍・線形結合）を説明。 ドット積・ノルム・角度 により幾何学的性質を導入。 直交性 の重要性と応用例を紹介。

線形代数の小さな本：第1章 ベクトル

1.1 スカラーとベクトル

• スカラー ：単一の数値量、主に 実数 $\mathbb{R}$から選ばれる。

  • 算術の基本単位、加減乗除が可能。
  • 線形代数では 係数・スケーリング因子・ベクトルや行列の成分 として機能。

• ベクトル ：スカラーを順序付きで並べた集合。

  • $\mathbb{R}^n$ はn次元実数ベクトル空間、各成分が実数。

  • 次元 $n$はベクトル空間の大きさを示す。

  • 例：

    • $(3, -1) \in \mathbb{R}^2$：2次元ベクトル
    • $(2, 0, 5) \in \mathbb{R}^3$：3次元ベクトル
    • $(7) \in \mathbb{R}^1$：スカラーと同等

• 列ベクトル ：通常は縦に並べて表記。

  • 例：$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \ 0 \ 5 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$

• 幾何学的解釈 ：

  • $\mathbb{R}^2$では 原点から点$(x_1, x_2)$への矢印 として可視化。
  • $\mathbb{R}^3$では3次元空間で同様。
  • 高次元では直接描けないが、 演算規則は同一。

• ベクトルの見方 （3つ）：

  • 空間上の点としての座標
  • 向きと長さを持つ矢印
  • 抽象的なベクトル空間の要素

• 記法 ：

  • 太字小文字（$\mathbf{v}, \mathbf{w}, \mathbf{x}$）
  • $i$番目の成分は$v_i$（$i$は1から開始）
  • $n$次元ベクトル全体は$\mathbb{R}^n$

• なぜここから始めるか ：

  • スカラーとベクトル が線形代数の原子。
  • これらの理解が、 ベクトル空間・線形変換・行列・固有値 など全ての基礎。

1.2 ベクトルの加算とスカラー倍

• ベクトル加算 ：同次元ベクトルの対応成分を足す。

  • 例：$\mathbf{u} = (2, -1, 3)$、$\mathbf{v} = (4, 0, -5)$ $\mathbf{u} + \mathbf{v} = (6, -1, -2)$

• 幾何学的意味 ：

  • 平行四辺形則 ：二つのベクトルを連結し、その対角線が和ベクトル。

• スカラー倍 ：ベクトルをスカラーで伸縮。

  • 例：$\mathbf{v} = (3, -2)$、$c = -2$ $c\mathbf{v} = (-6, 4)$

• 線形結合 ：複数ベクトルにスカラーを掛けて合計。

  • 例：$\mathbf{v}_1 = (1,0)$、$\mathbf{v}_2 = (0,1)$ 任意の$(a,b) \in \mathbb{R}^2$は$a\mathbf{v}_1 + b\mathbf{v}_2$で表現可能。

• 記法 ：

  • 加算：$\mathbf{u} + \mathbf{v}$
  • スカラー倍：$c\mathbf{v}$
  • 線形結合：$c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k$

• 重要性 ：

  • 加算・スカラー倍 がベクトル空間の根幹。
  • 幾何学的な移動・拡大縮小、連立方程式の解法の基礎。

1.3 ドット積・ノルム・角度

• ドット積（内積） ：二つのベクトルの対応成分を掛けて総和。

  • 例：$\mathbf{u} = (2, -1, 3)$、$\mathbf{v} = (4, 0, -2)$ $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 2\cdot4 + (-1)\cdot0 + 3\cdot(-2) = 2$

• ノルム（長さ） ：ベクトル自身とのドット積の平方根。

  • 例：$\mathbf{v} = (3,4)$ $|\mathbf{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

• 角度 ：

  • $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{u}| |\mathbf{v}| \cos\theta$
  • $\cos\theta = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}$

• 直交性 ：ドット積が0のとき、二つのベクトルは直交（垂直）。

  • 例：$\mathbf{u} = (1,0)$、$\mathbf{v} = (0,1)$ $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$ → 直交

• 記法 ：

  • ドット積：$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$
  • ノルム：$|\mathbf{v}|$
  • 直交：$\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$

• 重要性 ：

  • ドット積により、ベクトル空間に 長さ・角度・垂直性 を付与。
  • 直交射影・Gram–Schmidt正規直交化・固有ベクトル・最小二乗法 の基礎。

1.4 直交性

• 定義 ：$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$が$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$なら直交。

  • 角度は$90^\circ$（$\pi/2$ラジアン）

• 例 ：$(1,2)$と$(2,-1)$は直交 $(1,2)\cdot(2,-1)=1\cdot2+2\cdot(-1)=0$

• 直交集合 ：全ての異なるペアが直交するベクトル集合。

  • 各ベクトルのノルムが1なら 正規直交集合（orthonormal set）

  • 例：$\mathbb{R}^3$の標準基底

    • $\mathbf{e}_1 = (1,0,0)$
    • $\mathbf{e}_2 = (0,1,0)$
    • $\mathbf{e}_3 = (0,0,1)$
    • 各ベクトルの長さは1、相互のドット積は0

• 応用 ：

  • ベクトルの 分解・射影・特別な基底の構築 に活用
  • 幾何学的直感を高次元空間にも拡張可能

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この章では、 線形代数の基礎 となるベクトルの性質・演算・幾何学的意味を網羅的に解説。 今後の学習のための 土台形成 を目的とする内容。