概要

• 本記事は、筆者が中学生時代に発見した独自のフラクタル「wallflower」の構造と生成方法を考察する内容。
• 2通りの生成法（ドラッグ＆ドロップ法とL-System法）の違いと、それぞれの数学的特徴を比較。
• フラクタルの空間充填性や、5進数によるラベリング、行列表現による位置計算について解説。
• 既存の有名フラクタル（Koch雪片、Minkowski Sausage等）との関連性も指摘。
• 数学的なペアリング関数やベクトル操作を通じて、フラクタルの深層構造を明らかにする試み。

壁の花（Wallflower）：オリジナルフラクタルの発見と解析

フラクタルの発見と成長手順

• 中学生時代、 方眼紙 上で 正方形を複製・回転 しながら敷き詰める独自の図形を発見すること。
• 手順は以下の通りとすること:
  • 正方形1つ から開始すること。
  • 現在の図形を 上下左右 に4つ複製して並べること。
  • さらに、 約27度回転 させた複製を斜め方向に4つ並べること。
  • 手順2と3を 交互に繰り返す こと。
• この構造を「wallflower」と命名し、 ペタル状の成長 を特徴とすること。

L-Systemによる輪郭生成と既存フラクタルとの比較

• L-Systemを用いて 90度回転 のみからなるルールで輪郭を生成すること。
  • 初期状態： RRRR
  • 置換規則： R→RLR, L→RLL
• L-System法とドラッグ＆ドロップ法で 第4世代以降の輪郭形状が異なる ことを確認すること。
• L-System法で得られる輪郭は既存文献（Quadratic von Koch island, Quadratic Flake, Minkowski Sausage等）で既出であることを確認すること。
• 一方、 ドラッグ＆ドロップ法によるバリエーションは文献未掲載 であり、独自性が高いこと。

フラクタルの空間充填性とペアリング関数

• フラクタルの成長は カントールのペアリング関数 や 整数スパイラル の概念に類似していること。
• 各正方形に “順序” を割り振ることで、 再帰的な構造と一致するラベリング が可能であること。
• 中心を0 とし、周囲の4つを1〜4で時計回りに番号付けすること。
• 以降も各ペタル内で同様に再帰的な番号付けを行うこと。

5進数によるラベリングと空間パターン

• 各イテレーションで 正方形数が5倍 となるため、 5進数でラベリング することが自然であること。
• 5の倍数ごとに 拡大・回転した格子パターン が現れることを確認すること。
• 5進数表記を用いることで、 各桁ごとの“ベクトル移動” が視覚的に分かりやすくなること。

ベクトルと行列による位置計算

• 各数字に対応する 位置ベクトル を定義すること。
  • 例：(\overrightarrow{0}=[0,0], \overrightarrow{1}=[1,0], \overrightarrow{2}=[0,1], \overrightarrow{3}=[-1,0], \overrightarrow{4}=[0,-1])
• 各桁の重み は、再帰的な構造に合わせて 行列の累乗 で表現できること。
  • 基本行列 (M=\begin{bmatrix}-2 & 1 \ 1 & 2\end{bmatrix}) を用い、(M^n)で拡大・回転を表現すること。
• 5進数で表した任意の数字について、その 各桁ごとのベクトルを合計 することで、該当位置を一意に決定できること。

数体系との関連と拡張性

• 本手法は、 通常の進数展開 （例：10進数の1234=1000+200+30+4）と類似した構造を持つこと。
• 5進数の桁ごとに 異なるベクトル変換 を施すことで、フラクタル空間上の位置を効率的に算出できること。
• この構造は デジタル空間の座標系設計 や 自己相似性の解析 に応用可能であること。

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このように、wallflowerフラクタルは 独自性の高い成長ルール と 再帰的な空間充填性 を持ち、 既存フラクタルとの関係性 や 進数・線形代数的な解釈 を通じて多様な数学的洞察を提供する提案。